一位破译了二战德国密码的数学天才，他带走了秘诀

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破译密码在战争中起到关键作用。瑞典数学家阿恩·伯尔林（Arne Beurling）因1940年破译了德国密码机“G打印机”而名垂青史。事实上，他是一位不世出的天才，虽然在数学上做出了菲尔兹奖级的成果，但他的生平和在密码分析领域的成就并不为人所知，直到20多年前才被披露。他自己从未透露过破解密码的方法，正如他自己所说：“魔术师从不揭示自己的秘诀。”

撰文 | 范明
1941 年 6 月中旬，一个令人不安的消息传到瑞典。纳粹德国在波罗的海南部地区大幅削减军队，而在波罗的海海域的海军活动却强有力增加，显然一场重大的军事行动正在酝酿中。丹麦和挪威被纳粹占领已经一年多了，现在轮到瑞典了吗？尽管如此，瑞典政府及国防部高层并未采取任何超出现有准备的措施——既没有总动员，也没有调动军队。为什么会出现这种无所作为的情况？行动瘫痪，还是不负责任？这些猜想都是错误的，其实早在几个星期前，政府就已获知，德军的异常军事行动并非针对瑞典，而是针对苏联的 “巴巴罗萨行动”（Operation Barbarossa）。为了减少本国人民不必要的担心，政府决定不动声色，这样既可以节省大量资源，也不必打草惊蛇激怒希特勒。
揭露德国计划的幕后英雄是一位瑞典数学家——阿恩·伯尔林（Arne Beurling，1905-1986），他于1940年破译了德国“G打印机”（Geheimschreiber）的战略军事通信密码。这是密码学历史上最伟大的成就之一，可与波兰人马里安·雷耶夫斯基（Marian Rejewski）和英国人阿兰·图灵（Alan Turing）等破解德军恩尼格玛（Enigma，Enigma一词在希腊语中是 “谜语”的意思）密码机的壮举相提并论。然而在战后很长一段时间里，伯尔林的名字和事迹却鲜为人知。直到1996年，瑞典密码分析师和作家本特·贝克曼（Bengt Beckman）撰写的《瑞典的密码破译者》一书问世，才将这位出世高人的生平展现在世人面前。这是一个拥有几乎所有惊悚元素的真实故事：残酷的战争年代、孤独的数学天才、神秘的解码 “魔术师”……
阿恩·伯尔林 图源：popularhistoria.se

加密技术和密码机行业的开端

密码学是一门古老的科学，人类使用代码和密码传递秘密信息的历史几乎与使用文字的时间一样长。从公元前几百年起，就先后出现了希伯来学者使用的单表替换式密码、斯巴达人用于换位加密的 “塞塔式密码棒”、希腊化时代的“波利比乌斯方表” 打拍密码、罗马共和时期替换加密技术的“凯撒密码”等。1467年左右，被称为“西方密码学之父”的意大利文艺复兴时期的通才莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂（Leon Battista Alberti）提出了多表加密方法，后来发展成为由一系列凯撒密码组成的多表加密系统——“维吉尼亚密码”，并最终催生了理论上具有完善保密性的“一次性密码本”。这类经典密码主要使用笔和纸，或者简单的机械辅助工具进行加密。
瑞典是一个发明家辈出的国家，世界上第一台密码机可能与18世纪瑞典贵族弗雷德里克·格里彭斯蒂纳（Fredrik Gripenstierna）男爵有关，1786年9月23日，他在写给瑞典国王古斯塔夫三世的信中提出了一台密码机的设计方案。格里彭斯蒂纳在信中写道，自己是根据年轻时从外祖父——瑞典著名科学家和发明家克里斯托弗·普尔海姆（Christopher Polhem）那里学到的知识，绘制了这台机器的图纸。普尔海姆与英国数学家和密码学家约翰·沃利斯（John Wallis）有书信往来，沃利斯是牛顿的老师，提出了无穷大符号∞。普尔海姆关于密码机的构思则来自德国耶稣会成员和通才阿塔纳修斯·基歇尔（Athanasius Kircher）的著作《数字算盘》中的思想。古斯塔夫三世对这一设想很感兴趣，同年瑞典的一家公司制造了原型机。
虽然格里彭斯蒂纳密码机的图纸和机器已经失传，但从他给古斯塔夫三世信件的描述中可以大致猜测出其外观。这是一个由57个旋转金属圆盘组成的圆柱形机器，圆盘彼此相邻排列并可绕轴旋转。每个圆盘的一半按顺序标记有字母和特殊字符，另一半则是以乱序方式排列的 0 至 99 之间的数字，使用者可以通过字母、字符与数字交换位置以及旋转圆盘来加密和解密文本消息，这台密码机共有约 41076 个可能的字母表。美国开国元勋之一托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson）曾于1795 年发明了一种有36个圆盘的类似装置——“杰斐逊圆盘”，但没有付诸使用，直到1922年，美国人根据其原理制造出M-94密码机。
20世纪早期，随着一些电动机械的发明，更复杂和有效的加密方法问世，一批密码天才闪亮登场。例如，瑞典数学家阿维德·达姆（Arvid Damm）也是一位工程师和发明家，于1896年获得乌普萨拉大学博士学位。1916年7月，他与同样对密码学感兴趣的海军军官奥洛夫·吉尔登（Olof Gyldén）共同创办了一家瑞典有限公司AB Cryptograph，它可能是世界上第一家完全专注于加密机并获得商业成功的公司。达姆是用于机器加密的有线转子原理的早期发明者之一，他申请了瑞典专利，设计了多款密码机，包括可以自动加密输入文本的B1原型机。1922年，诺贝尔家族和哈格林家族为濒于破产的AB Cryptograph注资。3年后，鲍里斯·哈格林（Boris Hagelin）代表其家族接手了公司的管理权并重组改名，并生产出B1型密码机的简化但实用的版本B21，出售给瑞典军方。
哈格林的主要竞争对手是德国电气工程师亚瑟·谢尔比乌斯（Arthur Scherbius），后者发明的恩尼格玛密码机于1925年开始批量生产。哈格林的产品曾与恩尼格玛机的早期版本展开竞争，但销量更好。他开发的最著名的产品是 C36 型密码机，二战期间他曾向美国军方售出数万台小型版的机器。后来哈格林移居瑞士，1952年在伯尔尼创立Crypto AG公司，于1958年关闭了瑞典公司。二战后Crypto AG迅速成为密码机行业的领军企业，还于1970年代复制了两台格里彭斯蒂纳密码机，哈格林也是史上唯一一位成为亿万富翁的密码机制造商。随着世界通信的数字化，公司于2018年被分拆出售。
三转子恩尼格玛机（左）和C36 型密码机（右） | 图源：维基百科

信号拦截与密码分析

密码分析是研究在不知道秘密信息的情况下对已加密的信息进行解密的一门学问，英文单词为cryptanalysis，源自希腊语kryptós——意为“隐藏”，以及analýein——意为“解开”。尽管这一词汇直到1920年才出现，但破解密码和密码机的方法却由来已久。密码分析与密码学共同演化，被视为同一枚硬币的正反两面：为了创建安全的密码，就必须考虑到可能的密码分析。成功的密码分析对历史进程产生了重要影响，在战时尤其如此。一战期间的1917年1月，英国情报部门截获并破译了德国外交部 “齐默尔曼电报”（Zimmermann Telegram），成为促使美国参战的直接原因。二战中对德国恩尼格玛机的成功破解，使得盟军在欧洲战场提前获胜，对整个战争起到决定性作用。
早在20世纪初，瑞典军方就拥有自己的信号情报和加密部门，一战期间成功破解了俄罗斯波罗的海舰队的一些加密信息。瑞典曾与德国签订合作协议，分享这些情报，并允许德国外交部在瑞典军舰上向海外大使馆发送电报。作为回报，德方授予瑞典使用加密部门的方法和结果，并为其培训加密专业人员。齐默尔曼电报就是通过这种方式发送给德国驻墨西哥大使，其中披露了无限制潜艇战争的计划，建议墨西哥与德国结成抗美军事联盟，这封电报被英方截获并转告美方。1930年代，瑞典海军加强了在波罗的海沿岸的海军基地和舰艇上拦截俄、德、英等国无线电信号的工作，并开始培训自己的密码学和密码分析人才。
伊夫·吉尔登（Yves Gyldén，1895–1963）是1930年代瑞典密码学和密码分析领域的先驱者和最重要的专家，他的父亲奥洛夫·吉尔登是阿维德·达姆的商业合伙人、祖父是著名天文学家雨果·吉尔登（Hugo Gyldén）。吉尔登兼具语言和数学天赋，精通瑞典语、法语、西班牙语，他认为密码分析是一门艺术。1931年，吉尔登出版了《密码机构在世界大战中的贡献》一书，介绍从1880年代至一战期间所有欧洲国家的编码和破译操作，并预言了密码分析在今后战争中的作用。吉尔登还是一位出色的教师，他曾在多所军事学校讲授密码学和密码分析课程。同一时期哈格林开发的许多加密机器都是基于密码分析领域的最新进展，包括吉尔登的工作。
由于密码算法日渐复杂，密码分析逐渐变得主要依赖于数学方法。1924年，19岁的阿恩·伯尔林进入乌普萨拉大学数学系学习，他在1930–1931年服兵役期间开始对加密技术和破译密码感兴趣。伯尔林在一堂周末课程中参观了瑞典国防部门的B21型密码机，在检查了这台机器后，他声称机器存在安全缺陷。第二天他就拿出了解决方案，使得课程教官大为惊讶。服役期结束后，伯尔林回到乌普萨拉大学继续学业，获得博士学位，后成为教授。1937年7月1日，瑞典武装部队总参谋部（Försvarsstaben）正式成立，下设包括密码部在内的十个部门，开始培训密码分析人员。吉尔登担任密码分析、统计应用等课程的教官，伯尔林也兼职参与组织一门密码学课程。
总参谋部密码部门旧址 | 图源：popularhistoria.se（左）及作者拍摄（右）
斯堪的纳维亚的地缘政治位置、不可预测事件中的政治博弈以及战争后期的军事集结，使得瑞典政府在整个二战期间始终保持中立。1942年7月1日，瑞典武装部队总参谋部中负责信号情报和加密工作的部门被划分为一个独立机构——“武装部队无线电局”（Försvarsväsendets Radioanstalt），简称FRA。战争期间，总参谋部密码部门设在斯德哥尔摩市中心Karlaplan 4的一栋旧楼内，现在这座楼房已拆除重建，2022年10月，FRA在旧址门口安放了纪念牌匾，上面的铭文是：“信号情报服务部门于1939-1943年间在这座楼房内运行，瑞典武装部队无线电局向曾在这里默默工作的男女军人致敬，他们为国家做出了巨大贡献。”

破译德国G密码打印机

二战爆发后伯尔林应征入伍，进入情报加密部门工作。他的小组最初被指派研究苏联的信息传输系统，成功破译了波罗的海舰队的 10400 封电报——苏联人使用了四位数和附加超级加密的五位数密码。在和平时期瑞典国防部从未对重要的外国国防部门的组织和运作有如此深入的了解。1940年夏天，伯尔林取得了一生中最杰出的成就：破解德国人 的G密码打印机，那时G打印机用于德国驻斯德哥尔摩大使馆和挪威之间的电传通讯。1940年4月，德国占领丹麦和挪威后不久，要求向瑞典租赁奥斯陆和哥本哈根之间沿西海岸的电缆。尽管这一举动有悖于瑞典作为中立国的立场，却为破解德国密码提供了难得的机会。
德国西门子公司的Halske T52型G打印机是一种内置加密的电传打字机，体型较大，主要供纳粹高级军事人员和外交使团使用。与G打印机相比，恩尼格玛机的体积小得多，广泛用于德国军队和潜艇。恩尼格玛机没有任何打印文字，必须由两人使用，破译密码则需要访问物理机器，而且需要大量计算资源。英国人就是在破译密码遇到困难的关键阶段，从三艘德国潜艇上获取了密码机来破译的，而当年瑞典国防部门没有这些条件。破解G打印机意味着瑞典政府和国防部高层可以在德国进攻威胁最危急的关头了解掌控战争局势的最高级别人员的情报，例如本文开始提到的德国入侵苏联的“巴巴罗萨行动”，从而为使瑞典远离战争提供了重要支持。
瑞典军事博物馆收藏的一台G打印机 | 图源：作者拍摄
G打印机采用了当时最先进的加密方法，其中包括使用十个不同尺寸的码轮，码轮和继电器可以通过多种方式连接，将输入的五位电传打字机字符转换为其他加密字符。这些字符由接收器使用按照相同约定设置的机器进行解密，总共可设置 893 622 318 929 520 960 种不同组合。根据瑞典情报部门截获的密码电报以及德国大使馆卧底特工送出的明文，伯尔林选取了1940年5月25日24小时内发送者和接收者相匹配的信息流量，将其逐字打印出来。经过两周时间的思考和计算，他仅仅使用笔和纸就完成了破解工作。在这之前伯尔林对于电传打字机及其加密方法一无所知，而德国人认为G打印机是不可破解的，因此战后他的成功引起了公众的广泛关注。
伯尔林从不将简单问题复杂化，他在工作中并没有使用高深的数学知识和神秘公式，不过是充分利用了G打印机的设计和操作的一些弱点以及德国操作员处理信息的方式，例如多次发送具有相同设置的消息。根据G打印机产生的密码，伯尔林还设计出了该设备的数学模型。在工程师维果·林斯坦（Vigo Lindstein） 的帮助下，他们制造出一台与G打印机的工作方式正好相反的机器，并将其命名为 “App”。德国的加密信息送到这台机器上能直接被转换为纯文本并打印出来，使解密过程自动化，从而节省了解密人员手译电报的大量时间。德国的最高军事机密就这样源源不断地实时送到瑞典安全部门高层的办公桌上，直到1943年底，德方发现之后才用新系统和加密技术堵住了漏洞。
用于破解G打印机代码的部分原始文档 | 图源：fra.se
伯尔林生前对于其解密方法始终守口如瓶，他的一句名言是：“魔术师从不揭示自己的秘诀。”伯尔林在乌普萨拉的前学生卡尔-约斯塔·伯勒留斯（Carl-Gösta Borelius）长期担任 FRA 密码分析师和数据中心主管，他在1941–1943年间参与了G打印机的解密工作。一个重要线索是G打印机在使用过程中，操作员通常会在每个空格处插入阿尔法换档，以避免陷入数字模式，这意味着alpha shift + space是一个常见的组合。1980年代，伯勒留斯撰写了一份内部报告，推测重建了伯尔林可能使用的方法，他认为3=字母移位，4 =数字移位，5=空格。1940年秋天，伯尔林还在完全不懂捷克语的情况下，破解了这种语言的加密电报，这甚至比解密G打印机都更使他有成就感。

不世出的天才数学家

伯尔林出生于瑞典西海岸哥德堡，他的父亲是一位经验丰富、脾气暴躁的船长。1928年，伯尔林开始在乌普萨拉大学数学教授安德斯·维曼（Anders Wiman）指导下攻读博士学位，并且受到另一位教授埃里克·霍姆格伦（Erik Holmgren）的深刻影响。第二年他与芬兰数学家拉尔斯·阿尔福斯（Lars Ahlfors）差不多同时证明了关于全纯函数渐进值的Denjoy猜想。然而那一年伯尔林休学与父亲一起前往巴拿马狩猎鳄鱼，后来又去服兵役。因此直到1933年他才发表了研究结果，并获得博士学位，与1936年首次颁发的菲尔兹奖失之交臂。伯尔林用法文写成的博士论文Etudes sur un problème de majoration，成为当时最具影响力的数学文献之一。
博士毕业后，伯尔林在乌普萨拉大学任教，1937年成为该系两位教授之一。他在最有创造力的年华投身破解德国密码的工作，以此报效国家。1948-1949年间，伯尔林应阿尔福斯之邀前往哈佛大学作访问教授。1954年他辞去乌普萨拉的教职，成为普林斯顿高级研究院的终身教授，在那里继承了爱因斯坦的办公室，直到1973年荣休。伯尔林的主要研究领域是调和分析、复分析和位势理论，他以独特的方式将这三个领域融为一体，做出了多项重要贡献。伯尔林是一位极具创造力的数学家，他由于不变子空间的Beurling定理、拟共形映射的Beurling-Ahlfors定理和函数论中的Beurling-Malliavin定理等贡献在数学界闻名，被认为是分析数学领域的一代宗师。
伯尔林战后在自己的游艇上（左）及晚年在普林斯顿（右）| 图源：iva.se
伯尔林思维中的一个维度不是由逻辑，而是由感性、直觉和美引导，对他来说数学世界似乎与现实生活融为一体。伯尔林是一个完美主义者，只有在所有细节都解决之后，才有选择性地发表文章，因此他的许多手稿未曾面世。伯尔林极具个人魅力，对于正义和公平竞争有着非常强烈的感觉，而对于朋友有着无可置疑的忠诚和慷慨，乐于无私地分享自己的想法。任何与他关系密切的人都会受其坚强个性以及对数学的激情感染。伯尔林具有强壮的体魄，热爱户外徒步、冒险、狩猎和航海，颇具其父遗风。在他的研究工作中似乎深藏着某种来自北欧原始森林的魔力，阅读他的论文会使人感到被一只强有力的大手带领着走过引人入胜的自然风光。
另一方面，伯尔林不能容忍他人对其智商和能力的质疑，对自己的研究成果具有强烈的所有权意识。他对于受到的不公正待遇十分敏感，特别是不擅长与官僚机构打交道，因此造成了人际关系上的一些冲突和悲剧。早在1939年，伯尔林和吉尔登在国防部门共事时，这两位瑞典密码界的重量级人物就发生过肢体冲突。破解了德国G打印机密码之后，伯尔林的地位看上去无人替代，然而他与军方领导层及有些同事的关系远非和谐。1942年无线电局FRA成立后，新任主管停止了伯尔林的聘用合同，他回到乌普萨拉大学继续从事数学研究和教学，并兼任无线电局的咨询顾问，直到战争结束。而他在乌普萨拉与数学系另一位教授水火不相容，两人从来不说话。
伯尔林一生中指导了九名博士，他的得意门生、 2006年阿贝尔奖得主里纳特·卡尔松（Lennart Carleson）就是受到伯尔林人格魅力的吸引，才选择数学家作为终身职业。卡尔松这样描绘恩师：“伯尔林与数学有一种复杂而热情的关系。据说牛顿将宇宙视为上帝创造的密码，供科学家进行密码分析。我认为这就是伯尔林对数学的看法，他只接受纯粹和美丽的理论，他以艺术家的态度衡量自己及他人的作品。”1950年代初期，分析数学的潮流从经典分析转向抽象分析，卡尔松认为这使得伯尔林被某种程度边缘化，他的天才和成就也被大大低估了。在普林斯顿的二十多年里，伯尔林始终感到孤独，看来美国不是一个适合他的地方。
伯尔林的胸像和家族墓地 | 图源：维基百科（左）及笔者拍摄（右）
1986年11月20日，伯尔林在普林斯顿与世长辞，享年81岁，安葬在斯德哥尔摩北部公墓的家族墓地。2005年伯尔林百年诞辰之际，乌普萨拉大学数学系为他树立了一座胸像，如今安放在数学系所在校园中。伯尔林是一位不世出的天才，无论从事技术性或理论性的工作，无论是密码分析还是数学研究，正如他的终生好友与合作者阿尔福斯所言：“在伯尔林所做的每一件事情中，天赋无处不在。”卡尔松和阿尔福斯一致认为，伯尔林身后的学术遗产将会对数学家们产生多年影响，甚至可能是几代人。由于他在二战期间破解德国密码的壮举，伯尔林在瑞典被视为民族骄傲。在国际局势日益动荡、网络安全至关重要的今天，纪念伯尔林更具现实意义。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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